lunes, diciembre 26, 2016

Aquiles, Calígula y Cantor: imágenes culturales de lo infinito




Alexander Martínez Rivillas
Profesor de la Universidad del Tolima

Introducción

Si hay alguna pretensión de explicar los hechos que dieron lugar al infinito matemático, tales deberían considerarse en “su origen” y no en una época cualquiera. Así, por ejemplo, el concepto de infinito potencial, que rige los demás conceptos del “sistema” matemático en la antigua Grecia, se distingue del concepto de infinito utilitario que rige, con igual “autoridad”, los conceptos matemáticos en el Imperio romano.

Entonces, la pregunta por el infinito matemático deberá distinguir en su esbozo dos o más épocas. En este caso, se trazará una borrosa línea entre las nociones de infinito que se pueden identificar en Grecia y Roma, y se estudiarán algunas relaciones con sus contextos culturales.

Los infinitos fundacionales

En primer lugar, los conceptos griegos de infinito no solo se encuentran en Platón, Euclides o Aristóteles, sino que se extienden a la cultura griega clásica (V-IV a.C).

Platón ya sugería que el universo se le debía tomar como un “todo” por fuera de lo cual no hay “nada”. Pero también expuso la opinión contraria, según la cual el universo no podía concebírsele como una totalidad, sino “aquello por fuera de lo cual siempre hay algo”. Esta última definición tradicionalmente se le ha aplicado a la definición del infinito potencial, porque sugiere un proceso inacabable. Y aquella definición que considera el universo como un “todo completo”, se le ha hecho valer como la definición de otro infinito, esto es, un infinito actual.

Aristóteles, en la “Física”, se decide por el infinito potencial, esgrimiendo argumentos semejantes a los empleados por Platón. Euclides, en su postulado del “paralelismo” da a entender que aquellas líneas que nunca se van a encontrar, obedecen a un infinito potencial, o a un proceso inacabable en el que las líneas se prolongan tanto como se quiera, y sin embrago, nunca se van a cortar.

La cultura clásica griega comparte la idea de que el “mundo”, lo que podría ser equiparable con la nación griega, es un conjunto que desplaza sus límites tanto como se quiera de modo que cada uno de sus elementos cumple una función orgánica para el beneficio del propio conjunto.

Esta totalidad orgánica obliga a sus elementos a estar interrelacionados de manera “responsable”, o siguiendo cierta teleología moral:

“La trinidad griega del poeta (ποιητής), el hombre de estado (πολιτιχός) y el sabio (σοΦός), encarna la más alta dirección de la nación. En esta atmósfera de íntima libertad, que se siente vinculada, por conocimiento esencial y aun por la más alta ley divina, al servicio de la totalidad, se desarrolló el genio creador de los griegos hasta llegar a su plenitud educadora, tan por encima de la virtuosidad intelectual y artística de nuestra moderna civilización individualista” (Jaeger, 1992, p.14).

Así pues, se pone de presente la continuidad de la “existencia”, continuidad que había sido amenazada por las aporías de Zenón, pero que, desde un principio, se le considera como eso, como dificultad o paradoja, algo con lo que se ponía en crisis la vieja idea parmenidiana del “uno” estático, esto es, lo continuo orgánico, eterno, inmutable y sin fin. Zenón abre la posibilidad de “dividir la realidad”, de “darle discontinuidad”, pero a costa de dejar en ridículo a Aquiles, “el hombre de  los pies ligeros”, y de paso a la cultura griega.

Aquiles es incansable, capaz de desafiar el infinito potencial. Pero Homero no podría obligarlo a competir con una tortuga, ni menos a recorrer un tramo bajo la condición de tener que avanzar con saltos que agotaran sus sucesivas mitades. Solo en “el mundo” griego Aquiles es imbatible.

Homero, Platón, Euclides, Aristóteles, entre otros, no habrían de aceptar una noción de infinito ajena al concebido y aceptado en la “existencia” griega clásica, o para ser más directos, en la cultura griega clásica. La aceptación de la discontinuidad en los “existentes”, o de los hechos que constituyen la “nación”, sería una apostasía.

Zenón, en aquel tramo finito que empieza a recorrer Aquiles, quiere comprimir el infinito potencial. Quiere mostrar que en las realidades más contingentes o limitadas también podemos concebir procesos inacabables, puntos separados por distancias finitas entre las cuales siempre hay otro punto; quiere desviar la atención del infinito en el sentido de “horizonte” potencial, para darle un sentido de “cercanía” inagotable.

En esta “aberración” cultural de Zenón (por demás, hijo de una colonia griega), el infinito no solo se dirige “hacia fuera” sino también “hacia dentro”, el infinito está “a la mano” o en el “horizonte”. El todo puede estar en la parte, al contrario de lo que sostenía Euclides, según el cual “el todo es mayor que la parte”.

¿Podría aceptar Euclides el infinito “comprimido” en una parte? ¿Si el infinito está en un segmento de la recta, entonces qué habría por fuera de tal segmento? Euclides no aceptaría estas suposiciones. Por otro lado, ¿es posible que Zenón inaugurara el siguiente híbrido metafísico: existe un tipo de infinito que se distribuye en una continuidad de horizonte, pero aceptando que cualquier porción de esta continuidad puede contener otro tipo de infinito? Es factible.

Todo parece indicar que la cultura griega es una cultura de horizonte colonialista, lo que pudo haber contribuido al reforzamiento existencial de una noción de infinito potencial. No obstante, la cultura latina es otra cultura colonialista, también con sus ojos puestos en un inagotable horizonte de territorios “ignotos”. Y en efecto, Zenón se encontraba en las periferias del imperio griego, pero también bajo la influencia etrusca, lo que quizás latinizó su cosmovisión de lo infinito.    

Tal hibridación grecolatina quizás es uno de los fundamentos de la ciencia y la tecnología del Imperio romano, y en efecto, una de las prácticas mejor restauradas en el mundo moderno a partir de la herencia latina: la administración eficiente de las cosas. 

Con lo latino se potencia la obsesión por los detalles, lo discreto, la casuística y la causalidad de las cosas. La administración (del latín ad, hacia algo, y minister, obediencia eficiente) pormenorizada de los territorios propios y coloniales, el estereotipo del “comando y el control” desde Roma.  

Para la cultura latina, al contrario de la griega clásica, los objetos de horizonte tienen tanta dignidad como aquellos más cotidianos, pequeños, casi insignificantes. La “grandeza” de lo infinito es atribuible tanto a los territorios coloniales como a los terruños locales, a las regiones potenciales y a los lugares actuales, respectivamente. El infinito potencial nunca se deja atrás, “nos” atraviesa sin permiso, y su revés, el infinito actual, es un bucle incesante que se cierra sobre sí mismo a la manera de un infinito potencial inverso, si se quiere. 

Aquiles era capaz de dejar atrás cualquier objeto, a excepción del horizonte, el infinito está frente a él y no debajo de él, y a pesar de agotar cualquier distancia sigue estando frente a él. El héroe griego como expresión directa de la cultura griega clásica no iba a poner el infinito al alcance de su mano, sino en el horizonte.

Se puede presumir que el infinito constituido por la cultura latina es un infinito mestizo, la combinación del infinito potencial y el infinito actual, cuya funcionalidad se demuestra en su utilidad. Se trata de un infinito práctico y predictivo. Quizás la fuente nutricia de los “indivisibles” o de los “infinitesimales”. La noción de infinito latino es en realidad el concepto de un infinito utilitario.   

Una imagen: el emperador romano es un hombre que se hace héroe sin mover un dedo, el mundo está a sus manos y, por consiguiente, los objetos reales e ideales deben estar al alcance de sus manos. Se trata de un infinito contenido en un solo objeto, en una cosa singular, la voz del emperador, pero también de un infinito desplegado desde Roma hasta Britania, Galia o Hispania, cuyas resonancias se comprueban en las órdenes ejecutoriadas. 

Los objetos útiles son objetos que “están a la mano”. Roma vuelca su atención hacia lo útil, lo cercano, a lo que se emplea atendiendo meramente su individualidad, a su condición discreta, y no a su organicidad, como en Grecia Clásica. El mundo discreto o discontinuo permite una visión radical de la realidad como cadena de causas y efectos, lo que en efecto se constata en el lenguaje latino. Por ejemplo, la palabra ἐνέργεια que se traduce al castellano como realidad, se comprende desde Aristóteles como

“…lo que yace-ahí-adelante y es traducido al latín poractus, que tiene un sentido totalmente diferente al original. Pues, por actus ya se comprende operatio, lo que resulta de una operatio. El resultado es aquello que se sigue de un actio y después de un actio: el éxito. Lo real es ahora lo conseguido. El conseguimiento lo trae una cosa que lo precede, la causa. La realidad aparece ahora a la luz de la causalidad, de la causa efficiens… finalmente, al perseguir la relación causa-efecto, la sucesión se abre paso hacia el primer plano y con ello la sucesión temporal” (Heidegger, 1994, pp. 43-44).

La realidad en Roma es el efecto de una causa, está separada de sí misma, es una sucesión o cadena de causas y efectos, o mejor, una realidad causa otra realidad. Una realidad separada de sí misma es una realidad de discontinuidad, de segmentos en el vacío, de retos y grandezas en los objetos a la mano y no en los objetos orgánicos o, ¿por qué no decirlo?, en los ecosistemas.

La mayoría de obras de arte griegas monumentales “miran” con señoría el horizonte, hacia adelante (por ejemplo, en el “Erecteion”, el “Apolo de Belvedere”, o el “Poseidón de Melos”). Hay en ellas una mirada sin propósito definido, en actitud vigilante y, ciertamente, no hay miradas hacia “abajo”.

Por el contrario, las obras de arte etruscas, fundamento cultural de Roma, exhiben muchas pinturas y esculturas que miran hacia “abajo”, que “ven al que ve” con ojos grandes y bien definidos, o se lanzan con soberbia contra el mundo como si quisieran tenerlo en el puño de la mano (piénsese en las láminas con “Caballeros etruscos”, el “Sarcófago de los esposos”, la mirada de la “Loba capitolina”, o el “Sarcófago del anciano recostado”, hace poco revelado).

Pero quizás lo infinitamente divisible ya se anticipa en varios frescos y mosaicos de los cubiculum. Muchas habitaciones y cámaras funerarias despliegan detalles sobre la arquitectura urbana o la vida rural de la clase alta romana: reproducciones del paisaje urbano en los habitáculos urbanos y escenas de momentos de la caza en sus villas, por ejemplo. Pero el “particularismo” de esos objetos inertes o vivos es agobiante. En el “mosaico del oecus de La Olmeda”, como los demás, las imágenes solo se pueden interpretar con una mirada contradictoria: contemplando el cuadro general sin dejar de acechar los pequeños azulejos que componen la escena.

La gravidez de sus puentes, de sus bóvedas, de sus anfiteatros, pero también las infatigables sabanas africanas, esa “grandeza”, ese barbecho infinito, que habita en el horizonte, debe estar al alcance de sus manos... “en sus habitaciones”.

Los objetos divisibles en Roma parecen ser, literalmente, divisibles. Bajo el imperio de Nerón, los artistas perdían sus brazos en el teatro satírico. Lo simbólicamente divisible es realmente divisible en el mundo concreto de los hombres y las cosas. ¿Cosmología destructiva de lo vivo? ¿Igualación de lo humano al reino de lo inanimado? La presencia absoluta del emperador exige la conversión de lo vivo en una entidad incuestionablemente divisible. Recuérdese que Calígula ordenó construir un puente de 3600 pasos para recorrerlo con su caballo, y luego fue destruido, a decir de Suetonio. En efecto, esa “prudencia” aristotélica, esa visión orgánica del “mundo” en la Grecia clásica, no tiene lugar en Roma.

Muchas o pocas cosas parecen indicar el esbozo de un concepto de infinito utilitario, inherente a la cultura latina, que se propuso integrar en el arte y la política los infinitos potencial y actual. Para los siglos venideros, se puede afirmar a manera de hipótesis que, el álgebra medieval y las categorías modernas de indivisibles, infinitesimales y límite, representan otro esfuerzo abigarrado de integrar en una sola noción estos dos tipos de infinito. No obstante, en el siglo XIX aparecerá otra narrativa de los infinitos que disuadirá a buena parte del mundo científico, la cual merece una atención especial.

Cantor o la metafísica del conteo

En la “Teoría de Conjuntos” se tienen estas dos nociones de infinito: una, el infinito de elementos denumerables, opera cristalizando su concepto de 0; y otra, el infinito de elementos no denumerables, es sugerida por la “prueba diagonal”, la cual presume la existencia de 1,2,3…n+1, esto es, listas de elementos que empiezan y terminan metafísicamente en el continuo.

Pero he aquí una operación de fe, fundada en una creencia sobre el tempo de nuestra experiencia finita. Los números naturales, enteros, racionales, tienen conteos “rápidos” respecto al conteo de los “reales”. Por tanto, si se avanza rápido en un intervalo implica que se cuentan menos números respecto a los que se cuentan en el avance lento del mismo intervalo. Esta intuición solo puede tener una base metafísica, y el infinitismo la defenderá hasta la muerte.

Así pues, la lista del conteo rápido y seguro será 0, y los listados con los conteos lentos serán 1,2,3…n+1, de forma que el listado de 2 es mayor que el listado de 1, y así sucesivamente. Esta es, posiblemente, otra brillante manera de sintetizar los infinitos clásicos en otra forma de infinito utilitario, que a diferencia del latino, quiere conciliarlos simbólicamente en la idea del continuo.

Ahora que Aquiles y Calígula sean, de nuevo, nuestros héroes, uno entre sus “existentes” como el segundo entre los suyos. Cantor, como la modernidad, fue seducido y determinado por la cultura latina y griega al mismo tiempo.

El listado del conteo rápido trasmite la idea del infinito actual, pues es “aquello por fuera de lo cual no hay nada”. La groma delgromaticus, la dioptra de Herón de Alejandría, los tratados de Frontino, significan también la pretensión de capturar el continuo con la agrimensura. Esta captura enclaustra el continuo en planos, proyecciones ortogonales..., pues más allá de eso no hay nada. De hecho, decía Frontino: “habrá que despreciarse las superficies inclinadas”. Pero dichas pretensiones tampoco renuncian al listado del conteo lento, el cual conduce a un infinito potencial, ya que “despreciar algo” significa que más allá de un límite arbitrario “siempre hay algo”.

El teorema de Cantor , la “parte es mayor que el todo”, hace referencia al tipo de infinito utilitario, que en vez de ayudar a determinar el infinito potencial, permite simbolizarlo para tenerlo a la mano, hacerlo útil dentro de la teoría.

Bibliografía

Heidegger, M. 1994. Ciencia y meditación, En: Conferencias y artículos, ODÓS, Barcelona, España.
Jaeger, W. 1992. Paideia: los ideales de la cultura griega, FCE, Santa Fe de Bogotá, Colombia.